NEW YORK - Bien qu'il existe depuis plus de 2000 ans, le concept de l'infini est resté une idée énigmatique et souvent difficile pour les mathématiciens, les physiciens et les philosophes. L'infini existe-t-il vraiment ou fait-il simplement partie du tissu de nos imaginations?
Vendredi 31 mai, un panel de scientifiques et de mathématiciens s'est réuni pour discuter de certaines des questions et controverses profondes entourant le concept de l'infini, dans le cadre du World Science Festival, une célébration annuelle et une exploration de la science.
Une partie de la difficulté à essayer de résoudre certaines des questions abstraites liées à l'infini est que ces problèmes dépassent les théories mathématiques plus établies, a déclaré William Hugh Woodin, mathématicien à l'Université de Californie à Berkeley.
"C'est un peu comme si les mathématiques vivaient sur une île stable - nous leur avons construit une base solide", a déclaré Woodin. "Ensuite, il y a la terre sauvage là-bas. C'est l'infini."
Où tout a commencé
Un philosophe nommé Zeno d'Eléa, qui a vécu à partir de 490 av. à 430 avant JC, est crédité de l'introduction de l'idée de l'infini.
Le concept a été étudié par d'anciens philosophes, dont Aristote, qui se demandaient si des infinis pouvaient exister dans un monde physique apparemment fini, a déclaré Philip Clayton, doyen de la Claremont School of Theology de la Claremont Lincoln University à Claremont, en Californie. Les théologiens, dont Thomas d'Aquin, utilisé l'infini pour expliquer la relation entre les humains, Dieu et le monde naturel.
Dans les années 1870, un mathématicien allemand du nom de Georg Cantor a été le premier à travailler dans un domaine qui est devenu connu sous le nom de théorie des ensembles. Selon la théorie des ensembles, les entiers, qui sont des nombres sans fraction ni composante décimale (comme 1, 5, -4), constituent un ensemble infini qui est dénombrable. D'un autre côté, les nombres réels, qui comprennent des nombres entiers, des fractions et des nombres dits irrationnels, tels que la racine carrée de 2, font partie d'un ensemble infini qui est indénombrable.
Cela a amené Cantor à s'interroger sur différents types d'infini.
"S'il y a maintenant deux types d'infini - le type dénombrable et ce type continu, qui est plus grand - y a-t-il d'autres infinis? Y a-t-il un certain infini qui se trouve entre eux?" a déclaré Steven Strogatz, mathématicien à l'Université Cornell à Ithaca, N.Y.
Cantor pensait qu'il n'existait aucune infinité entre les ensembles d'entiers et de nombres réels, mais il n'a jamais pu le prouver. Sa déclaration, cependant, est devenue connue comme l'hypothèse du continuum, et les mathématiciens qui ont abordé le problème sur les traces de Cantor ont été qualifiés de théoriciens des ensembles.
Explorer au-delà
Woodin est un théoricien des ensembles et a passé sa vie à essayer de résoudre l'hypothèse du continuum. À ce jour, les mathématiciens n'ont pas été en mesure de prouver ou de réfuter la postulation de Cantor. Une partie du problème est que l'idée qu'il existe plus de deux types d'infini est si abstraite, a déclaré Woodin.
"Il n'y a pas de satellite que vous pouvez construire pour sortir et mesurer l'hypothèse du continuum", a-t-il expliqué. "Il n'y a rien dans notre monde autour de nous qui nous aidera à déterminer si l'hypothèse du continuum est vraie ou fausse, à notre connaissance."
Plus difficile encore est le fait que certains mathématiciens aient rejeté la pertinence de ce type de travail mathématique.
"Ces gens dans la théorie des ensembles nous frappent, même en mathématiques, comme une sorte d'étrange", a plaisanté Strogatz. Mais, a-t-il dit, il comprend l'importance du travail effectué par les théoriciens des ensembles, car si l'hypothèse du continuum se révèle fausse, elle pourrait déraciner les principes mathématiques de base de la même manière qu'une théorie des nombres contradictoire éliminerait les bases des mathématiques et de la physique.
"Nous savons qu'ils font un travail très profond et important, et en principe, c'est un travail fondamental", a expliqué Strogatz. «Ils secouent les fondations sur lesquelles nous travaillons tous, aux deuxième et troisième étages. S'ils gâchent quelque chose, cela pourrait nous renverser partout.»
L'avenir des mathématiques
Pourtant, malgré toutes les incertitudes, le travail effectué par les théoriciens des ensembles pourrait avoir des effets d'entraînement positifs qui renforcent les fondements des mathématiques, a déclaré Woodin.
"En étudiant l'infini, et dans la mesure où nous pouvons réussir, je pense que nous plaidons en faveur de la cohérence de l'arithmétique", a-t-il expliqué. "C'est un peu une déclaration fanatique, mais si l'infini ne mène pas à une contradiction, certainement le fini ne mène pas à une contradiction. Donc, peut-être en explorant les confins pour voir s'il y a une contradiction, vous en gagnez Sécurité."
Les paradoxes qui caractérisent le concept de l'infini s'expliquent peut-être mieux par le nombre pi, a déclaré Strogatz. Pi, l'une des constantes mathématiques les plus reconnaissables, représente le rapport de la circonférence d'un cercle à son diamètre. Parmi ses innombrables applications, pi peut être utilisé pour trouver l'aire d'un cercle.
"Pi est typique des nombres réels… en ce qu'il contient cette quantité infinie d'informations imprévisibles, et en même temps, il est tellement totalement prévisible", a déclaré Strogatz. "Il n'y a rien de plus ordonné qu'un cercle, que pi incarne - c'est le symbole même de l'ordre et de la perfection. Donc, cette coexistence d'une prévisibilité et d'un ordre parfaits, avec ce mystère alléchant d'énigme infinie construite dans le même objet, fait partie du plaisir de notre sujet et, je suppose, de l'infini lui-même. "
